Wykopanie studni o głębokości 25 m kosztuje 1100 zł, jeśli pierwszy metr kosztuje 8 zł, a cena każdego kolejnego rośnie o 3 zł. Wynik otrzymujemy, sumując koszt wszystkich 25 metrów, a nie tylko cenę wykonania ostatniego metra. Sprawdź obliczenia krok po kroku.
Jak obliczyć koszt wykopania studni 25 m?
Cena wykonania kolejnych metrów tworzy ciąg arytmetyczny. Pierwszy metr kosztuje 8 zł, a różnica między cenami sąsiednich metrów wynosi 3 zł.
Wzór na cenę wykopania n-tego metra ma postać:
Cena n-tego metra = 8 + (n – 1) · 3
Dla 25. metra otrzymujemy:
a25 = 8 + 24 · 3 = 80 zł
Kwota 80 zł oznacza wyłącznie cenę wykopania ostatniego, czyli 25. metra. Nie jest to koszt całej studni.
Sumowanie kosztów wszystkich metrów
Pierwszy metr kosztuje 8 zł, a 25. metr 80 zł. Koszt całej studni obliczamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:
Sn = ((a1 + an) · n) / 2
Po podstawieniu danych:
S25 = ((8 + 80) · 25) / 2
S25 = 88 · 25 / 2
S25 = 1100 zł
Wynik podpunktu a: wykopanie studni o głębokości 25 m kosztuje 1100 zł.
Jak obliczyć głębokość studni za 798 zł?
W tym przypadku nie szukamy ceny pojedynczego metra, lecz liczby metrów, których łączny koszt wynosi 798 zł. Korzystamy z tego samego wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.
Dla n metrów cena ostatniego metra wynosi:
an = 8 + (n – 1) · 3 = 3n + 5
Podstawiamy tę wartość do wzoru na sumę:
798 = ((8 + 3n + 5) · n) / 2
798 = ((3n + 13) · n) / 2
Po pomnożeniu obu stron przez 2:
1596 = 3n2 + 13n
Otrzymujemy równanie kwadratowe:
3n2 + 13n – 1596 = 0
Rozwiązanie równania
Obliczamy wyróżnik:
Δ = 132 – 4 · 3 · (–1596)
Δ = 169 + 19152 = 19321
Pierwiastek z wyróżnika wynosi:
√Δ = 139
Rozwiązania równania:
n1 = (–13 – 139) / 6 = –152 / 6
n2 = (–13 + 139) / 6 = 126 / 6 = 21
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, ponieważ głębokość studni nie może być liczbą ujemną. Zostaje więc:
n = 21 m
Wynik podpunktu b: za 798 zł można wykopać studnię o głębokości 21 m.
Dlaczego nie należy używać tylko ceny 25. metra?
Najczęstszy błąd polega na obliczeniu wartości a25 i uznaniu jej za cenę całej studni. Wartość 80 zł dotyczy tylko jednego odcinka – metra znajdującego się na głębokości od 24 do 25 m.
Cała studnia składa się z 25 metrów, których ceny wynoszą kolejno od 8 zł do 80 zł. Trzeba więc dodać wszystkie te kwoty albo zastosować wzór na sumę ciągu arytmetycznego.
| Wielkość | Obliczenie | Wynik |
| Cena pierwszego metra | a1 = 8 | 8 zł |
| Cena 25. metra | a25 = 8 + 24 · 3 | 80 zł |
| Koszt 25 metrów | S25 = (8 + 80) · 25 / 2 | 1100 zł |
Jak rozpoznać ciąg arytmetyczny w podobnych zadaniach?
Jeżeli koszt każdego kolejnego elementu zmienia się zawsze o tę samą wartość, mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. W tym zadaniu cena rośnie za każdym razem o 3 zł, dlatego można zastosować wzory dotyczące takiego ciągu.
Przy rozwiązywaniu podobnych przykładów warto ustalić:
- cenę pierwszego elementu,
- stałą różnicę między kolejnymi cenami,
- liczbę elementów albo łączny koszt,
- czy pytanie dotyczy pojedynczego elementu, czy całej sumy.
